由你设定的模型条件。12% 表示大量邀请中，平均约 12% 能增加金额；不保证每 100 次恰好成功 12 次。
生活里的概率实验 / 01
恭喜你！距离提现只差……
100元红包，
真的只差一刀？
进度条已经到了 99%。
再找一个朋友，真的就能拿到吗？
教学情景演示 · 非真实红包 · 不提供提现
概率×期望×方差这一次，用数学拆开套路。
你的 ¥100 红包已就位
模拟待提现金额
¥100.00
已完成 99%
就差一点点！
教学
模拟
模拟
99% 的进度 ≠ 99% 的成功率红包很诱人，先算算拿到它的机会。进入实验，亲手验证 →
↑ 点击「拆」，揭开进度条的秘密模型边界 本页借“拼多多砍一刀”情景讲解概率，不接入平台、不使用真实活动数据。真实概率需要完整规则与代表性样本，不能由进度条推断。
01 / 先读懂规则与变量
这不是在算进度，而是在算「达标的机会」
起点：虚拟进度 ¥99
→目标 ¥100，还差 ¥1。这 ¥99 不能直接提现。
每次邀请，做一次随机试验
→有 p 的概率增加 δ 元，其余情况增加 0 元。
在 N 次内，凑齐最后 ¥1
达标到账 ¥100；次数用尽未达标，到账 ¥0。
先认识这几个变量
仅在有效助力时增加金额。比如每次增加 ¥0.10，就需要 10 次有效助力。
这是邀请预算，不是模拟局数。包含有效和无效邀请；达标后会提前停止。
对应下方“批量实验次数”。M 越大，模拟成功率通常越稳定；它不改变单个玩家的理论成功概率。
K 是 N 次邀请中有效的次数，是随机变量；r = ⌈1/δ⌉ 是凑齐 ¥1 至少需要的有效次数，向上取整。
q 是一局达标的概率，取决于 p、δ、N；X 是实际到账金额，只可能为 ¥0 或 ¥100。p 和 q 不是同一个概率。
跟着做一次对照实验第 1 / 4 步
也可以自由探索下方参数；引导中的对照实验会载入固定条件，便于比较。
02 / 动手验证
把「感觉」变成一次实验
先亲手试一局 · 每点一次 = 邀请一人 等待第一刀
虚拟进度金额 / 目标 ¥100
¥99.00
看上去近在咫尺，达标需要多少次有效助力？0 / 50 次邀请
模拟成功率
成功局数 ÷ 模拟总局数
—运行实验后显示 95% 区间实际提现金额期望
很多局的平均到账，不是每局都能拿到
—理论值 —实际提现金额方差
衡量到账金额的波动，单位是元²
—理论值 —成功率如何随邀请次数变化？ 理论累计概率
邀请 50 次以内—理论提现成功率
横轴是允许邀请的人数，纵轴是这些邀请内能提现的概率。红点显示当前查看的位置；拖动滑块或播放动画，观察人数增加时的变化。这里只改变查看位置，不修改左侧实验设置。
模拟玩家的结局 尚未运行
柱状图显示成功玩家达标时的邀请次数；最后一栏为预算用尽仍未成功。
03 / 从实验到公式
进度条之外，数学说了什么？
把规则说清楚
已完成 ¥99，还差 ¥1。每次邀请以概率 p 获得 δ 元有效助力，否则为 0。单次助力独立，最多邀请 N 次。
r = ⌈1 / δ⌉
达到 r 次有效助力才算成功。进度金额只是虚拟进度；实际提现 X 只取 0 或 100 元。
成功率是二项分布的尾部
K ∼ Bin(N, p)
q = P(K ≥ r)
q = P(K ≥ r)
单次助力只有有效 / 无效两种结果（伯努利试验）。在独立且 p 不变的假设下，N 次中的有效次数 K 服从二项分布。将 K = r 到 N 的概率相加，就得到 q。
q = Σk=r…N C(N,k) pk(1−p)N−k
C(N,k) 表示从 N 次中选出 k 次有效位置的组合数。若 r > N，成功率就是 0。虽然模拟达标后会停止，“N 次内达标”和“预先生成 N 次结果后 K ≥ r”是等价事件。
允许无限次邀请时，达到 r 次有效助力所需的邀请总次数 T 服从负二项分布：E[T] = r/p，Var(T) = r(1−p)/p²（p > 0）。这里的期望不受 N 限制。
提现的期望与波动
E[X] = 100q
Var(X) = 100²q(1−q)
Var(X) = 100²q(1−q)
因为 X 以概率 q 取 100，以概率 1−q 取 0，所以 E[X] = 100×q + 0×(1−q)。再由 Var(X) = E[X²]−E[X]²，得到 10000q−10000q²。
期望是大量独立玩家的平均，不是你这一局会收到的钱。方差单位为元²，越大代表玩家结果的离散程度越高。
04 / 读懂你的实验结果
这次实验，说明了什么？
带走这句话
进度到了 99%，只说明还差 ¥1。能不能凑齐这 ¥1，还要看每次能砍多少、能否砍到，以及能邀请多少人。
本页的模拟方差使用分母 M，描述本轮数据的离散程度；若要无偏估计总体方差，可乘 M/(M−1)。95% 区间描述重复抽样方法的覆盖率，不表示真实平台成功率落在该区间。
05 / 带着问题离开
如果一万个人都失败，
成功概率就是零吗？
先预测，再模拟，最后解释。点击问题，展开课堂提示。
没有一次成功，能证明不可能吗？
不能。若 n 次独立同分布实验观察到 0 次成功，成功率的单侧 95% 精确上界为 1−0.05^(1/n)，大样本时约为 3/n。小概率事件需要更大的样本量。
为什么 99% 的进度不等于 99% 的成功率？
进度是当前状态，成功概率还依赖后续规则、剩余次数与每次有效助力的概率。本模型初始进度一直为 99%，但调整 p、δ、N，成功概率可以截然不同。
如何研究平台的真实概率？
需要记录版本规则、玩家资格、每次助力、剩余时间与所有失败样本；按用户类型分层，避免只统计分享成功的玩家。若概率随进度或用户变化，独立同分布假设就不适用。